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正定的股票

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正定性的判定

设实对称矩阵A,如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法 1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。 2.对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 3.对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4.对称矩阵A正定,则A的主对角线元素均为正数。 5.对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。

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正定二次型是什么?

定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)>0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.
正定二次型的判别方法:
a):二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定;
b):二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定;
c):对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.
注:设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,
即:称为A的各阶顺序主子式.

例1:判别二次型的正定性.
解:方法一:利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
方法二:利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外,还有其他类型的二次型。
定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)<0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵;如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵;如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵。

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